Erweiterter Einbeschriebener-Quadrat-Finder

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Mathematische Daten

Keine Kurvendaten verfügbar

Über den Einbeschriebener-Quadrat-Finder

Mathematische Grundlagen

Schnürsenkelformel

Wir verwenden die Schnürsenkelformel (auch bekannt als Gaußsche Trapezformel) zur Berechnung der Fläche des von der Kurve gebildeten Polygons:

A=12∣∑i=1n−1(xiyi+1+xny1)−∑i=1n−1(xi+1yi+x1yn)∣A = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} + x_n y_1) - \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} y_i + x_1 y_n)\right|

Wobei (xi, yi) die Koordinaten des i-ten Scheitelpunkts des Polygons sind.

Algorithmus-Implementierung

Einbeschriebenes Quadrat finden

Dieser Algorithmus verwendet einen Monte-Carlo-Ansatz, indem er zufällige Punkte innerhalb der Kurve ausprobiert, um das größte einbeschriebene Quadrat zu finden.

function findInscribedSquare(curve) {
  const minX = Math.min(...curve.map(p => p.x));
  const maxX = Math.max(...curve.map(p => p.x));
  const minY = Math.min(...curve.map(p => p.y));
  const maxY = Math.max(...curve.map(p => p.y));

  let bestSquare = [];
  let maxSize = 0;

  for (let i = 0; i < 1000; i++) {
    const center = getRandomPointInside(curve);
    let low = 0;
    let high = Math.min(maxX - minX, maxY - minY);

    while (high - low > 1) {
      const mid = (low + high) / 2;
      const square = [
        { x: center.x - mid / 2, y: center.y - mid / 2 },
        { x: center.x + mid / 2, y: center.y - mid / 2 },
        { x: center.x + mid / 2, y: center.y + mid / 2 },
        { x: center.x - mid / 2, y: center.y + mid / 2 },
      ];

      if (square.every(p => isPointInside(p, curve))) {
        if (mid > maxSize) {
          maxSize = mid;
          bestSquare = square;
        }
        low = mid;
      } else {
        high = mid;
      }
    }
  }

  return bestSquare;
}

Dieser Algorithmus verwendet einen Monte-Carlo-Ansatz, indem er zufällige Punkte innerhalb der Kurve ausprobiert, um das größte einbeschriebene Quadrat zu finden.

Erweitertes Quadrat finden

Dieser Algorithmus findet den Begrenzungsrahmen der Kurve und erstellt ein Quadrat, das sie vollständig umschließt.

function findExtendedSquare(curve) {
  const minX = Math.min(...curve.map(p => p.x));
  const maxX = Math.max(...curve.map(p => p.x));
  const minY = Math.min(...curve.map(p => p.y));
  const maxY = Math.max(...curve.map(p => p.y));

  const centerX = (minX + maxX) / 2;
  const centerY = (minY + maxY) / 2;
  const size = Math.max(maxX - minX, maxY - minY);

  return [
    { x: centerX - size / 2, y: centerY - size / 2 },
    { x: centerX + size / 2, y: centerY - size / 2 },
    { x: centerX + size / 2, y: centerY + size / 2 },
    { x: centerX - size / 2, y: centerY + size / 2 },
  ];
}

Dieser Algorithmus findet den Begrenzungsrahmen der Kurve und erstellt ein Quadrat, das sie vollständig umschließt.

Einführung

Willkommen beim Einbeschriebener-Quadrat-Finder, einem interaktiven Werkzeug, das die faszinierende Welt der Geometrie und mathematischen Vermutungen erforscht.

Diese Anwendung ermöglicht es Ihnen, geschlossene Kurven zu zeichnen und einbeschriebene Quadrate darin zu entdecken, wodurch ein jahrhundertealtes mathematisches Problem zum Leben erweckt wird.

Schlüsselkonzepte

Geschlossene Kurven

Eine geschlossene Kurve ist eine kontinuierliche Schleife in einer Ebene, wie ein Kreis oder jede Form, die dort endet, wo sie beginnt.

Einbeschriebene Quadrate

Ein einbeschriebenes Quadrat ist ein Quadrat, das perfekt in eine geschlossene Kurve passt, wobei alle vier Ecken die Kurve berühren.

Erweiterte Quadrate

Ein erweitertes Quadrat ist das kleinste Quadrat, das die geschlossene Kurve vollständig umschließt.

Flächenberechnung

Die Fläche der Kurve und der Quadrate wird mit fortgeschrittenen geometrischen Algorithmen berechnet.

Kurvenlänge

Die Gesamtdistanz um die Kurve herum, gemessen in Kilopixeln.

Verwendung

1

Wählen Sie ein Zeichenwerkzeug aus der Werkzeugleiste.

2

Zeichnen Sie eine geschlossene Kurve auf der Leinwand.

3

Klicken Sie auf 'Einbeschriebenes Quadrat finden', um ein einbeschriebenes Quadrat zu lokalisieren.

4

Klicken Sie auf 'Erweitertes Quadrat finden', um das umschließende Quadrat zu finden.

5

Betrachten Sie die mathematischen Daten für Ihre Kurve und Quadrate.

6

Verwenden Sie die 'Löschen'-Schaltfläche, um mit einer neuen Kurve zu beginnen.

7

Experimentieren Sie mit verschiedenen Formen und vergleichen Sie die Ergebnisse!

Weiterführende Erforschung

Das Problem des einbeschriebenen Quadrats eröffnet viele Wege für mathematische Erforschung:

Untersuchen Sie, wie oft perfekt kreisförmige Kurven einbeschriebene Quadrate ergeben.

Erforschen Sie verschiedene Algorithmen, um einbeschriebene Quadrate effizienter zu finden.

Untersuchen Sie die Beziehung zwischen der Fläche der Kurve und ihrem einbeschriebenen Quadrat.

Betrachten Sie, wie sich dieses Problem auf drei Dimensionen mit einbeschriebenen Würfeln erweitern lässt.

Viel Spaß beim Erforschen, und möge Ihre mathematische Neugier nie enden!

Erstellt von Luis, Webentwickler aus Mexiko

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